Cela fait plus de 3000 ans, que les plus grands mathématiciens, recherchent le moyen d’expliquer, la distribution des nombres premiers, quel est leur mode de fonctionnement?
Pourquoi personne n’a encore réussi à résoudre cette énigme?
Quel est l’élément, qui a égaré des chercheurs de la trempe d’Euclide, Sophie Germain, Pythagore, Euler, Gauss, Riemann, Mersenne, Erathostène, Goldbach et bien d’autres, la liste n’est pas exhaustive.
L’élément, qui a éloigné de la solution, tout ces illustres représentants, de la science des mathématiques, est qu’ils se sont inspirés des études précédentes, pour faire leurs propre recherches, ils n’ont tenu compte, que des éléments visibles, connus de la suite des nombres premiers, incluant 1 ; 2 et 3 , mais, ils ne pouvaient résoudre cette énigme, avec ces seuls éléments.
Il leurs manquait la pièce maîtresse du puzzle.
L’ensemble des entiers naturels, est en fait, composé de trois ensembles, bien distincts l’un de l’autre, mais néanmoins coexistant en symbiose. Donc il s’agit de déterminer la logique des 3 ensembles, 2 d’entres eux sont connus.
Mais le 3 ème ensemble, était inconnu, jusqu’a ce que, je découvre son existence le 29 octobre 2012.
Tout les problèmes, commence par une question et la question que je me suis posé est la suivante :
Est-ce que les nombres premiers, ont un rapport quelconque avec les carrés ?
La réponse est oui.
Le rapport, qui lie les nombres premiers et les carrés, c’est la mise en lumière des 6n+- 1.
Observations et questions.
Observations: Lorsque vous prenez l’ensemble des 6n+- 1, jusqu’à 23, les 6n+- 1, sont tous premiers.
Le premier 6n +- 1, qui ne soit pas premier est 25.
Question : Pourquoi 25 est le premier 6n+- 1, qui ne soit pas premier ? Réponse
25 est le plus petit et le premier multiple de la forme 6n+- 1, du premier 6n-1 à savoir le 5.
Lorsque vous prenez les entiers naturels, que vous les mettez au carré, les additionnés et les diviser par leurs nombres, la somme n’est divisible, que lorsque le diviseurs est un nombre de la forme 6n +- 1.
C’est cette propriété des 6n +- 1, qui m’a permis de trouver une explication, au mystère du mode de distribution des nombres premiers.
Puis de trouver une autre méthode, plus simple pour expliquer le sujet.
Résolution du problème.
Commençons par borner l’ensemble des entiers naturels, pour obtenir un ensemble plus petit, plus facile à étudier, que l’ensemble infini.
Utilisons une partie du raisonnement d’Eratosthène, en faisant un crible, mais juste un crible partiel, pour déterminer leurs positionnements dans l’ensemble des entiers naturels.
Pour ce faire, utilisons les deux plus petits nombres en dehors du 1, que sont 2 et 3 et faisons le crible, de notre mini ensemble des entiers naturels. Une fois ceci fait, nous aurons déjà une idée plus précise de leurs emplacements au sein de l’ensemble des entiers naturels et après analyse, nous serons en mesure de déduire les règles, qui régissent leurs distribution.
Nous pouvons constater dans l’illustration ci-dessous, qu’une fois éliminés, les multiples de 2 et 3, il ne reste plus, qu’une seule catégorie de nombres, ceux de la forme 6n +- 1
L’ensemble des entiers naturels peut se résumer à :
6n +- 0; 1; 2; 3
6n +- 0: Correspond aux multiples communs à 2 et 3
6n +- 1: Ce sont les nombres premiers supérieurs à 3 et les multiples, qu’ils produisent, lorsqu’ils se multiplient entre eux.
6n +- 2: Ce sont les multiples de 2
6n +- 3: Ce sont les multiples de 3 impairs
Démonstrations mathématiques des 6n +- 1
Par l’absurde:
Supposons que les nombres premiers supérieurs à 3, ne soient pas de la forme 6n+-1, cela signifierais qu’ils sont, soit de la forme: 6n; 6n+-2 ou 6n+-3 et donc , qu’ils seraient multiple soit de 2, soit de 3, ce qui est absurde.
Par la logique:
Pour commencer faisons l’observation que 6 est un multiple commun à 2 et 3, que les nombres de la forme 6n-1, sont exactement identiques aux nombres de la forme 6n+5.
Remarquez aussi que, étant donné un nombre, il n’y a que 6 possibilités :
6n ; 6n+1 ; 6n+2 ; 6n+3 ; 6n+4 et 6n+5.
Les nombres de la forme 6n, 6n+2 et 6n+4, sont multiples de 2 et les nombres de la forme 6n ; 6n+3 sont multiples de 3.
Alors, si K n’est multiple ni de 2,ni de 3, alors K est de la forme 6n+1 ou 6n+5, c’est-à-dire, de la forme 6n+1 ou 6n-1.
Corollaire: Si P est un nombre premier plus grand que 3, alors P est de la forme 6n+1 ou 6n-1.
Proposition 2 : Le produit de deux nombres entiers de la forme 6n+1 ou 6n-1, est un nombre de la forme 6n +1 ou 6n -1
Démonstration
Il y a 8 cas de figures possibles à vérifier:
(6x – 1) (6x – 1) = 6 (6x² – 1 – 1) + 1
(6x -1) (6x + 1) = 6 (6x² – 1 + 1) – 1
(6x + 1) (6x + 1) = 6 (6x² + 1 + 1) + 1
(6x + 1) (6x – 1) = 6 (6x² + 1 – 1) – 1
(6x – 1) (6y – 1) = 6 (6xy – x – y) + 1
(6x – 1) (6y + 1) = 6 (6xy + x – y) -1
(6x + 1) (6y + 1) = 6 (6xy + x + y) + 1
(6x + 1) (6y – 1) = 6 (6xy – x + y) -1
Corollaire: Si P et Q sont deux nombres premiers plus grands que 3, alors PQ sont de la forme (6n) + 1 ou (6n) – 1.
Démonstration
P et Q sont deux nombres premiers plus grand que 3, par le corollaire de la proposition 1, ils sont de la forme 6n+1 ou ( 6n ) -1.
Par la proposition 2, PQ et leurs produits sont de la forme (6n) + 1 ou (6n) – 1.
Proposition 3
Soit A, B et K des nombres entiers. Si K est de la forme (6n)+1 ou (6n)-1 et K = AB ; alors A et B sont aussi de la forme (6n)+1 ou (6n)-1.
Démonstration :
Si K est de la forme (6n)+1 ou(6n)-1, alors K n’est multiple ni de 2, ni de 3. Par conséquent , si K = AB, alors A et B ne sont multiples ni de 2, ni de 3.
Par la proposition 1, A et B sont de la forme (6n)+1 ou (6n)-1.
Corollaire : Les nombres entiers positifs plus grand que 1 et de la forme (6n)+1 ou (6n)-1, sont soit des nombres premiers, soit le produit de deux nombres entiers, eux aussi de la forme (6n)+1 ou (6n)-1. Ce corollaire est une conséquence immédiate de la définition de nombre premier et de la proposition 3.
A ce stade, nous pouvons déduire de ce qui précède, que 2 et 3 sont les seuls nombres premiers, qui ne soient pas de la forme 6n+-1.
Que 3 est le seul nombre premier impair, qui ne soit pas de la forme 6n + ou – 1.
Que les 6n + – 1 sont en quantité infini, puisque les multiples de 6 sont infinis.
Que les 6n + et – 1 sont jumeaux lorsque (n) est de la même valeur.
Qu’il y a 4 sortes de jumeaux possibles.
Que les carrés des nombres premiers supérieurs à 3, sont tous de la forme (6n +1).
Que 2 est le seul nombres paire premier.
Que le nombre de nombres premiers, inférieur à une limite donnée est inversement proportionnel, au nombres de 6n + – 1 non premiers, cela reste à démontrer , mais c’est à mon sens logique, puisque le nombres des uns ( les nombres premiers), dépend du nombre des autres (les composites).
C’est la parabole du vase qui s’emplit ! Supposons que nous ayons un vase vide et supposons que ce vide, dans le vase, c’est l’ensemble des nombres premiers, nous rajoutons l’eau, qui représente les 6n+- 1 composites, plus nous rajoutons d’eau, et moins, il reste de place, pour les nombres premiers et lorsque le vase est rempli l’eau prends l’ascendant et déborde du vase.
Conjecture de Golbach
Nous pouvons à présent, confirmer et démontrer la conjecture de Golbach, étant donné, que les nombres premiers supérieur à 3, sont tous de la forme 6n +- 1.
Conjecture de Goldbach
Maintenant, que nous connaissons la logique des 6n +- 1, nous sommes en mesure de confirmer et démontrer cette conjoncture.
N’oublions pas que 1 est le premier 6n +1, quand (n) a pour valeur 0.
(6n +- 1)(6n +- 1) = 6n +- 1
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